최단경로 알고리즘(1) - 다익스트라

최단경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.

다양한 문제 상황이 있다.

1. 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
2. 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
3. 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로

각 지점은 그래프에서 노드로 표현한다.

지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현한다.

 

 

1. 다익스트라 알고리즘

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
  (현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않음)
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
  매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복하기 때문.

 

알고리즘의 동작과정

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다. (자기는 0으로 다른 모든노드는 ∞으로 설정)
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다. (그리디 알고리즘)
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.

처 리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신한다.

 

알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
  (한단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.)
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
  완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.

 

간단한 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해
  매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 1e9 // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

using namespace std;

// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
int n, m, start;
// 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
vector<pair<int, int> > graph[100001];
// 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기
bool visited[100001];
// 최단 거리 테이블 만들기
int d[100001];

// 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
int getSmallestNode() {
    int min_value = INF;
    int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (d[i] < min_value && !visited[i]) {
            min_value = d[i];
            index = i;
        }
    }
    return index;
}

void dijkstra(int start) {
    // 시작 노드에 대해서 초기화
    d[start] = 0;
    visited[start] = true;
    for (int j = 0; j < graph[start].size(); j++) {
        d[graph[start][j].first] = graph[start][j].second;
    }
    // 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        // 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        int now = getSmallestNode();
        visited[now] = true;
        // 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for (int j = 0; j < graph[now].size(); j++) {
            int cost = d[now] + graph[now][j].second;
            // 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if (cost < d[graph[now][j].first]) {
                d[graph[now][j].first] = cost;
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    cin >> n >> m >> start;

    // 모든 간선 정보를 입력받기
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
        graph[a].push_back({b, c});
    }

    // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
    fill_n(d, 100001, INF);
    
    // 다익스트라 알고리즘을 수행
    dijkstra(start);

    // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if (d[i] == INF) {
            cout << "INFINITY" << '\n';
        }
        // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else {
            cout << d[i] << '\n';
        }
    }
}

 

간단한 구현 방법 성능 분석

• 총 \(O(V)\)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색 해야한다.
• 따라서 전체 시간 복잡도는 \(O(V^2)\) 이다.
• 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결 할 수 있다.
  하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 어떻게 해야할까?

[우선 순위 큐(Priority Queue)]

우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.

예를 들어 여러개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.

Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.

 

[힙(Heap)]

우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.

최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.

 

 

개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다.
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본원리는 동일하다.
  > 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
  > 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사 용한다.

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 1e9 // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

using namespace std;

// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
int n, m, start;
// 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
vector<pair<int, int> > graph[100001];
// 최단 거리 테이블 만들기
int d[100001];

void dijkstra(int start) {
    priority_queue<pair<int, int> > pq;
    // 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    pq.push({0, start});
    d[start] = 0;
    while (!pq.empty()) { // 큐가 비어있지 않다면
        // 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        int dist = -pq.top().first; // 현재 노드까지의 비용 
        int now = pq.top().second; // 현재 노드
        pq.pop();
        // 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if (d[now] < dist) continue;
        // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for (int i = 0; i < graph[now].size(); i++) {
            int cost = dist + graph[now][i].second;
            // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if (cost < d[graph[now][i].first]) {
                d[graph[now][i].first] = cost;
                pq.push(make_pair(-cost, graph[now][i].first));
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    cin >> n >> m >> start;

    // 모든 간선 정보를 입력받기
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
        graph[a].push_back({b, c});
    }

    // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
    fill(d, d + 100001, INF);
    
    // 다익스트라 알고리즘을 수행
    dijkstra(start);

    // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if (d[i] == INF) {
            cout << "INFINITY" << '\n';
        }
        // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else {
            cout << d[i] << '\n';
        }
    }
}

visited 배열을 사용하지 않는다. 

우선순위 큐에 들어가있는 노드를 꺼내서 최단거리가 기록된 테이블의 해당 노드 값과 비교해서 

테이블의 값보다 더 크다면 이미 처리된적 있는 것이므로 넘어간다.

테이블의 값은 항상 최솟값을 담고 초기값은 무한대이기때문에 이경우가 성립한다.

 

 

개선된 구현 방법 성능 분석

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 \(O(ElogV)\)이다.
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
  결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
• 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
  시간 복잡도를 \(O(ElogE)\)로 판단할 수 있다.
  중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 \(O(ElogV)\)로 정리할 수 있다.
  \(O(ElogE)\) → \(O(ElogV^2)\) →  \(O(2ElogV)\) →  \(O(ElogV)\)