최단경로 알고리즘(2) - 플로이드 워셜

2. 플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
  다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.

 

• 각단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
  a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.점화식은 다음과 같다.
• $$D_{ab} = min(D_{ab}, D_{ak} + D_{kb})$$

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 1e9 // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

using namespace std;

// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M)
// 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
int n, m;
// 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
int graph[501][501];

int main(void) {
    cin >> n >> m;

    // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
    for (int i = 0; i < 501; i++) {
        fill(graph[i], graph[i] + 501, INF);
    }

    // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
    for (int a = 1; a <= n; a++) {
        for (int b = 1; b <= n; b++) {
            if (a == b) graph[a][b] = 0;
        }
    }

    // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        graph[a][b] = c;
    }
    
    // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
            }
        }
    }

    // 수행된 결과를 출력
    for (int a = 1; a <= n; a++) {
        for (int b = 1; b <= n; b++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (graph[a][b] == INF) {
                cout << "INFINITY" << ' ';
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                cout << graph[a][b] << ' ';
            }
        }
        cout << '\n';
    }
}

 

 

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행한다.

각 단계마다 \(O(N^2)\)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.

따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 \(O(N^3)\)이다.